- Диофантово приближение с ограничениями(arXiv)
Автор:Жереми Шампань, Дэмиен Рой
Аннотация: Следуя Шмидту, Турнхееру и Бюжо-Кристенсену, мы изучаем, как нужно модифицировать теорему Дирихле о линейных формах, когда требуется, чтобы векторы коэффициентов линейных форм составляли ограниченный острый угол по отношению к фиксированное собственное ненулевое подпространство V в Rn. Предполагая, что точка Rn, которую мы аппроксимируем, имеет линейно независимые координаты над Q, мы получаем наилучшие возможные показатели аппроксимации, которые, как ни странно, зависят только от размерности V. Наши оценки получены путем сведения к результату Турнхеера, а их оптимальность следует из новой общей конструкции в параметрической геометрии чисел с угловыми ограничениями
2.Экспоненты динамического диофантова приближения в характеристике p(arXiv)
Автор:Уэйд Хайндес
Аннотация:Пусть φ(z) — неизотривиальная рациональная функция одной переменной с коэффициентами из F¯¯¯p(t), и предположим, что γ∈P1(F¯¯¯p(t )) не является закритической точкой для φ. Затем мы доказываем, что показатель диофантовой аппроксимации элементов φ−m(γ) в конце концов ограничен сверху величиной ⌈dm/2⌉+1. Для этого мы смешиваем диофантовы методы в характеристике p с адельным равнораспределением малых точек в пространстве Берковича. В качестве приложения мы выводим форму знаменитой предельной теоремы Сильвермана в этой ситуации. А именно, если взять любую точку блуждания a∈P1(F¯¯¯p(t)) и написать φn(a)=an/bn для некоторых взаимно простых полиномов an,bn∈F¯¯¯p[t], то докажи это
12≤lim infn→∞deg(an)deg(bn)≤lim supn→∞deg(an)deg(bn)≤2,
всякий раз, когда 0 и ∞ не являются посткритическими точками для φ. В характеристике p теорема Туэ-Зигеля-Дайсона-Рота неверна, поэтому наше доказательство требует методов, отличных от тех, которые использовал Сильверман.
3. Внутреннее диофантово приближение на окружностях и сферах (arXiv)
Автор:Бёнчул Ча, Дон Хан Ким
Аннотация: Мы изучаем спектры Лагранжа, возникающие из внутреннего диофантова приближения окружностей и сфер. Точнее, мы рассматриваем три окружности, вложенные в R2 или R3, и три сферы, вложенные в R3 или R4. Мы представляем единую структуру, позволяющую связать спектры Лагранжа этих шести пространств со спектрами R и C. Благодаря предыдущей работе Асмуса Л.~Шмидта по спектрам R и C мы получаем как следствие, для каждого из шесть спектров, наименьшая точка накопления и доходящая до нее полностью начальная дискретная часть
